はっぴー☆ちゃんねる：微分積分学続論試験

えてぃ「おは☆はっぴ〜♪♪♪」
しん　「第95回はっぴー☆ちゃんねる！ナビゲータのしんに」
えてぃ「アシスタントのえてぃでっす♪」
しん　「今日は微積の試験だったので、その感想をかたろうと思います」
えてぃ「微分って何？積分って美味しいの？」
しん　「っていう人は適当に聞き流してください！」
えてぃ「は〜い」

微分積分学続論試験

しん　「いやぁ、ついにこの授業、後期一度も出なかったZE!半年ぶりに会った塩兄さん（数学科の教授と思われ）はひげを生やしていて吃驚したYO!」
えてぃ「そのZE！とかYO!って〜のやめて。ムカつくから。ていうか一度もでなかったんかいｗ」
しん　「だってさ、前期の授業あまりにもどこにいくかわからない行き当たりばった…ゲフンゲフン。つまり、『自学自習の素晴らしさ』を身をもって教えてくれた授業だったので、先生に敬意を表して一度も出なかったわけですよ」
えてぃ「…まあ自学でもやったならいいけど…」
しん　「いや、まったく？」
えてぃ「おい！」
しん　「まあ範囲がさ、重積分、ガウスの定理、ストークスの定理だったし、重積分は物理でも幾何学でもやってたからな。あえて微積として勉強しなくてもとか」
えてぃ「物理とかに比べたらより厳密な定義とかやるんじゃないの？よくわからないけど」
しん　「まあ、俺自称物理科（まだ未定）だしそんな厳密な定義とか興味ないし」
えてぃ「あんた物理だって大雑把じゃない…」
しん　「ま、まあ、そういうわけで試験内容の紹介です」

第一問
$f(x,y)=\sin(x/y) (y\ne0)$
$f(x,y)=0 (y=0)$
のとき $[0,1]^2$ でRiemann積分可能であることを示せ
第二問
$f(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{-n}}{\sqrt{(x-1/n)^2+y^2}}$
の $(0,1)^2$ での広義積分が収束することを示せ
第三問
球面曲極座標系において $r^2=\cos2\theta,0\le\theta\le\pi/4$ で定義される曲面を $S$ 。球面上 $0\le\theta\le\pi/4$ の領域を $S_0$ とし、 $S_0$ から $S$ への射影fは $f(1,\phi,\theta)=(\sqrt{\cos2\theta},\phi,\theta)$ となったとき、 $S_0$ の面積素は射影した先でも同じ面積であることを示せ。

えてぃ「何語？」
しん　「数学語。一番は…Riemann積分の定義で、微小面積で区切って上から挟んだもの、下から挟んだものが一致する〜みたいなことを言えばいいはず。なんだけど…」
えてぃ「？」
しん　「俺はどうしていいかわからなかったので、とりあえずその面積が収束することを示してみた」
えてぃ「それってどうなの？」
しん　「…さあ？どうなんだろ？そういうことを問うてる問題なのかどうか俺にはわからない」
えてぃ「…」
しん　「第二問は優級数を作って挟み込めばいいらしい」
えてぃ「らしい…ってことは、つまりできなかったのね？」
しん　「ん」
えてぃ「…で第三問は？」
しん　「 $S$ と $S_0$ を両方 $\phi,\theta$ で偏微分してできたベクトルの外積をとってその絶対値をとって一致することを示せばOK。これはできた」
えてぃ「…結局自信を持ってとけたのは三番目だけなのね」
しん　「うん。みんながむずいむずい言ってたのを見て、塩兄さん『いや〜時間がなくて適当に作ると難しくなっちゃうんだよ〜。ごめんな』と平謝りしてたよ」
えてぃ「適当に作ると難しくなるものなの？」
しん　「さあ？…まあ大学の教員からすれば俺らがやってることなんて基礎の基礎だからな…そういうものなのかもしれないな」
えてぃ「なるほどねぇ…」

しん　「まあ、単位は来たんじゃね？たぶん。きっと。おそらく」
えてぃ「徐々に自信がなくなっていくのは何故？」
しん　「さて、明日は一日休みで、明後日は幾何学。振波の試験とかぶったのとか関係ねぇ！」
えてぃ「ハ？」
しん　「二重登録してたら試験がかぶった」
えてぃ「あんた前期も複素関数論と物理学情報処理論かぶらして両方おとしたじゃない。反省ないわね」
しん　「き、幾何学は自信がないわけじゃないんだから！だ、大丈夫なんだからね？」
えてぃ「キモ…ていうか『ないわけじゃない』んだ。」
しん　「というわけで明日はのんびりするですよ。次回も見てくださいね？」
えてぃ「バイビー！！！」