はっぴー☆ちゃんねる：幾何学試験

えてぃ「おは☆はっぴ〜♪」
しん　「第97回はっぴー☆ちゃんねる！ナビゲータのしんに」
えてぃ「アシスタントのえてぃでっす♪」
しん　「今日は幾何学の期末試験だったのですよ」
えてぃ「お疲れ様」
しん　「というわけで感想なのですよ」

幾何学入門試験

しん　「問題はこちらから☆」
幾何学試験問題
しん　「第一問は簡単な接線の問題。すぐとけたです。第二問は面積素の比較をすればすぐには導き出せるはず。第三問は…第三問は…」
えてぃ「解けなかったの？」
しん　「いまだに何が起こってるのかわからないのですよ。うーん…」
えてぃ「あらあら」
しん　「第四問はトーラス*1にパラメータ付けをする問題。問題無し。さて問題は第五問だけど…第五問の(1)は…両者の接平面の法線が一次従属になるようなM上の点を求めればOK。(2)はとけんかった。三次元中の任意のコンパクトな二次元多様体はいかなる三次元中のベクトルと一次従属になる点が二点以上あることを示せっていうんだけど…当然すぎて証明できんかった」
えてぃ「問題の意味がわからないんですが」
しん　「『どんな形の風船も、任意のベクトルに平行な面上の法線が二つあることを示せ』って意味」
えてぃ「？それって当然なの？」
しん　「どんな角度から平行な二枚の板で風船を挟むこと、できるだろ？そしたら風船と板の接点は二点とれる」
えてぃ「風船がとがってたら？」
しん　「多様体の条件で、任意の点で級である、って条件があるんだよ」
えてぃ「？」
しん　「つまり無限階偏微分可能、なめらかってこと」
えてぃ「あー滑らかなのは前提なのね」
しん　「うん」
えてぃ「ふ〜ん。なるほどねぇ。じゃあどうやってとくのさ？結局わかったの？」
しん　「うん。ベクトルをひとつ固定して、そのベクトルと面上の二点以上の法線が平行になることを示すことを考える。曲面上の単位法線ベクトルと固定したベクトルの内積をとったら、必ず極大値と極小値をとる。もちろん極値はそれぞれひとつ以上とることもあるけど、少なくともひとつあるわけだから、結局二点で条件を満たす。で、極大値、極小値では両者のベクトルは平行になってる（方向は逆）って感じで示せばよいらしい」
えてぃ「ふ〜ん」
しん　「まあそんな感じ。感触的には単位は来たと思われ」
えてぃ「おめでとう」
しん　「まあ問題は来週からだ」
えてぃ「来週は？」
しん　「月曜日に代数学。水曜日に解析力学、熱統計力学。木曜日に物理のための数学。金曜日にスマブラ」
えてぃ「…なんかひとつおかしい気が…」

しん　「というわけで次回もよろしくなのですよ」
えてぃ「ばいび〜♪」

*1:トーラス：ドーナッツ形のことね。