第119回、はっぴー☆ちゃんねる：パスカルの三角形

えてぃ「おは☆はっぴ〜♪」
しん　「第119回はっぴー☆ちゃんねる！ナビゲータのしんに！」
えてぃ「アシスタントのえてぃでっす♪」
しん　「今日は四年に一度の2月29日！」
えてぃ「別に嬉しくも何ともないけどね･･･」
しん　「なんだよ。冷めた奴だな。こういうときは素直に感動しろよ」
えてぃ「素直に感動って･･･じゃああんたやってみなさいよ？」
しん　「･･･きょ、今日はもしや四年に一度しかこないという二月二十九日ではないのか！？ま、まさかこんなことがあっていいのか？き、奇跡だ！1460日に一度しかこないとかミラクル以外のなにものでもない！」
えてぃ「いや、1460日ごとに必ず来るんだから奇跡でもなんでもないでしょうが･･･」
しん　「というわけで特に特別でも何でもない今日でした」
えてぃ「だったら余計なこと言わなきゃいいのに･･･」

パスカルの三角形

しん　「ところでおととい数学科の友達とお茶したときにした話なんだけど」
えてぃ「うん」
しん　「パスカルの三角形って知ってる？」
えてぃ「文系のあたしに聞かないで？」
しん　「まあ詳しくはWikipediaを見て欲しいんだけど･･･

こんな感じで右上と左上の数字を足す操作を繰り返して三角形をつくっていくっていうものなんだ」
えてぃ「あ、それみたことある。」
しん　「でな、七段目を見てくれ。7、21、35と等差数列になっているのわかるだろ？実は14段目にも1001,2002,3003ってのができるんだ。こんな感じに等差数列ができるのは何段目になるのか、また四つならぶ等差数列はできないことを証明せよ、っていう問題について話してたんだけど･･･」
えてぃ「ずいぶん暇なことやるわね。ていうかあんたらはお茶しながら数学の問題解くんだ･･･。変人ね」
しん　「暇いうな･･･変わってるってのは否めないけど。。。

というわけで以下はその計算、及び証明でっす☆」

等差数列が登場する段をn、左からk番目が等差数列の真ん中となるようにkを定める。ここでn段目左からi番目の数は、パスカルの三角形の定義から ${}_nC_i$ 。n段目k番目の前後は等差数列なので
$2{}_nC_k={}_nC_{k-1}+{}_nC_{k+1}$
$\therefore 2\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}+\frac{n!}{(n-k-1)!(k+1)!}$

両辺 $(n-k+1)!(k+1)!$ 倍して
$2(k+1)(n-k+1)=k(k+1)+(n-k)(n-k+1)$
$\therefore (n-k)^2-(n-k)(2k+1)+k^2-k-2=0$

ここで $n-k$ は整数なので解の公式のルートの中身が $m^2$ となるとすると
$(2k+1)^2-4(k^2-k-2)=m^2$
$\therefore k=\frac{m^2-9}{8}$
となる。

さて、解の公式より
$n-k=\frac{(2k+1)\pm m}{2}$
$n=2k+\frac{1}{2}\pm\frac{m}{2}$

kに代入して
$n=\frac{(m\pm1)^2-8}{4}$
$n=(\frac{m\pm1}{2})^2-2$
nは整数なので $\frac{m\pm1}{2}=s$ となるようなmをとればよい。よって条件は $n=s^2-2 (s\in N)$ 。

またsでmをあらわすと
$\frac{m\pm1}{2}=s$
$m=2s\pm1$
$\therefore k=\frac{(2s+1)^2-9}{8},\frac{(2s-1)^2-9}{8}=\frac{s(s+1)}{2}-2,\frac{s(s-1)}{2}-2$

よってkは二つしか候補が無い。このkはこの三角形が左右対称であることに起因しているが、もし4個連続で等差数列になるなら
その4つの等差数列の内部に二つの3個からなる等差数列ができ、少なくとも3個以上のkができるはずであり、これはkの候補が2つしか
ないことに矛盾。以上より題意は証明された。

しん　「という感じだな」
えてぃ「あ、確かに $7=3^2-2$ だし $14=4^2-2$ になるわね。へぇ。過程はこんなわけわからない計算なのにちゃんと結果があってるなんて、数学ってやっぱり不思議」
しん　「･･･まあ成立するように式を導いてってるわけだしなりたつのは当然なんだけどな。こういった幾何図形は面白い性質があるんで色々と調べてみたら面白いかもよ？」
えてぃ「あー･･･まああたしは見てるだけでお腹一杯だから。。。」
しん　「（逃げたな･･･）」

しん　「次回もよろしく！」
えてぃ「バイビー♪」